关于奇数的四次方对16取余(取模)得1的证明

关于奇数的四次方对16取余(取模)得1的证明

证明:

对于一个奇数,它显然可以表示为\(2k + 1\),则根据二项式定理我们有:

\(\begin{aligned} (2k + 1)^4 & = (^4_4) 2^4 k^4 + (^4_3) 2^3 k^3 + (^4_2) 2^2 k^2 + (^4_1) 2k + 1 \\ & = 16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1 \\ & = 8k(2k^3 + 4k^2 + 3k + 1) + 1 \end{aligned}\)

可以证明,\(k\)与\(2k^3 + 4k^2 + 3k + 1\)二者中必然有一个是偶数,所以\(8k(2k^3 + 4k^2 + 3k + 1)\)可以被16整除,因此\(8k(2k^3 + 4k^2 + 3k + 1) + 1\)对16取余得1,即奇数的4次方对16取余得1.

证毕。

 

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